미적분 예제

$f (x) = \ln (\arcsin (\sin (\sec (x))))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \arcsin (\sin (\sec (x)))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

단계 2

$f (x) = \arcsin (x)$ , $g (x) = \sin (\sec (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (\sec (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

단계 2.2

$\arcsin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (\sec (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

단계 3

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}}$ 에 $\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))]$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 4.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 4.3

$u_{3}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 5

$\cos (\sec (x))$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 6

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\sec (x) \tan (x))$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

$\sec (x)$ 와 $\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \tan (x)$

단계 7.2

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ 와 $\tan (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 와 $\cos (\sec (x))$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.4

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.4.1

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.4.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.5

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.6

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.7

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.8

$\cos (\sec (x))$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.9

간단히 합니다.

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단계 8.1.9.1

$\cos (\sec (x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.9.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.1.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

단계 8.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sec (x) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$