미적분 예제

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (\sec (2 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (\sec (2 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 2.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 3

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 4

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 5

분수를 통분합니다.

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단계 5.1

$\cos (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 5.2

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

단계 6

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 6.2

$\sec (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 입니다.

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 6.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$\sec (2 x)$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 7.2

$\tan (2 x)$ 와 $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.4

$2$ 와 $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

단계 7.6

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.2

$2$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.3

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.4

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.4.2

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.4.3

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.5

$\cos (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.5.1

$\cos^{2} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.6

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.7

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

단계 8.8

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$