미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{4} (\cos (x) + \sin (x)))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

단계 2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)] + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3

합의 법칙에 의해 $\cos (x) + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) (4 x^{3}))$

단계 6.2

$\cos (x) + \sin (x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 \cdot (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + (4 \cos (x) + 4 \sin (x)) x^{3})$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$

단계 7.5

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)}$

단계 7.6

$x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.6.1

$x^{4} \cos (x)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} \sin (x)}$

단계 7.6.2

$x^{4} \sin (x)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))}$

단계 7.6.3

$x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(- x^{4} \sin (x) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.8

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{4} \sin (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9

간단히 합니다.

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단계 7.9.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.9.1.1

$- x^{4} \sin (x)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} (- \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.1.2

공약수로 약분합니다.

단계 7.9.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.2

$\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.3

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.9.3.1

$x^{4} \cos (x)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} (\cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.3.2

공약수로 약분합니다.

단계 7.9.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.4

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.5

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.9.5.1

$4 \cos (x) x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.5.2

$x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.5.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.5.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.6

$\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \cos (x) + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.7

$\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.8

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.9.8.1

$4 \sin (x) x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.8.2

$x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

단계 7.9.8.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

단계 7.9.8.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.9.9

$\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \sin (x)$

단계 7.9.10

$\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.11

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.12

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(\cos (x) + \sin (x)) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.12.1

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{(\cos (x) + \sin (x)) x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.12.2

$(\cos (x) + \sin (x)) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.14

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.16

$- \sin (x) x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x) + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.17

$\cos (x) x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.18

$- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.19

$4 \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.20

$- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.21

$4 \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.22

$- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.23

$- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ 을 $- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.24

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

단계 7.25

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x \sin (x) - x \cos (x) - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$