미적분 예제

$f (x) = \ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\ln (e^{x^{3}}) + 6 \ln (x - 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{x^{3}})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $x^{3}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \ln (e)] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

단계 2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \cdot 1] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

단계 2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [6 \ln (x - 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 \ln (x - 1)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} (1 + 0))$

단계 3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 6 (\frac{1}{x - 1} \cdot 1)$

단계 3.7

$\frac{1}{x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 6 \frac{1}{x - 1}$

단계 3.8

$6$ 와 $\frac{1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$3 x^{2} + \frac{6}{x - 1}$

단계 4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $3 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}$

단계 4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) + 6}{x - 1}$