미적분 예제

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | x^{2} - x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| x^{2} - x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| x^{2} - x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

단계 2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x^{2} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

단계 2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

단계 3

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ 에 $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 5

$x^{2} - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 6

$x^{2} - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

단계 13

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

단계 14.2

$x^{2} - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

단계 14.2.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

단계 14.2.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

단계 14.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$x^{2} - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.3.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

단계 14.3.1.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

단계 14.3.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

단계 14.3.2

$x (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

단계 14.3.3

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

단계 14.3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 14.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

단계 14.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

단계 14.3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

단계 14.3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 14.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.3.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

단계 14.3.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

단계 14.3.5.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

단계 14.3.5.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

단계 14.3.5.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

단계 14.3.5.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

단계 14.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.7

간단히 합니다.

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단계 14.3.7.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.7.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.7.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.7.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

단계 14.3.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

단계 14.3.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

단계 14.3.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

단계 14.3.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

단계 14.3.9

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.3.9.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

단계 14.3.9.2

$- 2 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

단계 14.3.9.3

$1$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.9.4

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

단계 14.3.9.5

$x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

단계 14.3.10

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 14.3.10.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

단계 14.3.10.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 14.3.10.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

단계 14.3.10.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

단계 14.4

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 14.5

공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.1

$x^{2} {(x - 1)}^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

단계 14.5.2

공약수로 약분합니다.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

단계 14.5.3

수식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

단계 14.6

$x - 1$ 및 ${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.6.1

$1$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

단계 14.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.6.2.1

$x {(x - 1)}^{2}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

단계 14.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

단계 14.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

단계 14.7

$2 x - 1$ 에 $\frac{1}{x (x - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$