미적분 예제

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

단계 2

$\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

단계 3

$\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.2

$4 x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.3

합의 법칙에 의해 $4 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.8

분수를 통분합니다.

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단계 5.8.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.8.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

단계 5.8.3

$\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ 에 $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ 에서 $4 x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.4.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.4.1.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.4.2

$8 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5

항을 묶습니다.

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단계 7.5.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.5.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

단계 7.6

$4 x^{2} - 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.6.1

$4 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

단계 7.6.2

$- 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

단계 7.6.3

$2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

단계 7.7

$4 x^{3} - 3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.7.1

$4 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

단계 7.7.2

$- 3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

단계 7.7.3

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

단계 7.8

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.8.1

$2 x (2 x - 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

단계 7.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.8.2.1

$x^{2} (4 x - 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

단계 7.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

단계 7.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$