미적분 예제

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ 을(를) ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $(6 x - 2) (7 x + 4)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $(6 x - 2) (7 x + 4)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

단계 11

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 12

지수를 더하여 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 12.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 12.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 13

$2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

단계 14

$f (x) = 6 x - 2$ , $g (x) = 7 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15

미분합니다.

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단계 15.1

합의 법칙에 의해 $7 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.6

식을 간단히 합니다.

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단계 15.6.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.6.2

$6 x - 2$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

단계 15.7

합의 법칙에 의해 $6 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 15.8

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 15.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 15.10

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

단계 15.11

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

단계 15.12

식을 간단히 합니다.

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단계 15.12.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

단계 15.12.2

$7 x + 4$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

단계 16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

단계 16.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

단계 16.4

항을 묶습니다.

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단계 16.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

단계 16.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

단계 16.4.3

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

단계 16.4.4

$7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

단계 16.4.5

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

단계 16.4.6

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

단계 16.4.7

$42 x$ 를 $42 x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

단계 16.4.8

$- 14$ 를 $24$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

단계 16.5

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

단계 16.6

$12 x - 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 16.6.1

$12 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

단계 16.6.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

단계 16.6.3

$4 (3 x) + 4 (- 1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

단계 16.7

$84 x + 10$ 에 $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

단계 16.8

$84 x + 10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.8.1

$84 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

단계 16.8.2

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

단계 16.8.3

$2 (42 x) + 2 (5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

단계 16.8.4

공약수로 약분합니다.

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단계 16.8.4.1

$4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

단계 16.8.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

단계 16.8.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$