미적분 예제

$f (x) = \cos (x^{4}) (\frac{x}{x + 6})$

단계 1

$\cos (x^{4})$ 와 $\frac{x}{x + 6}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x^{4}) x}{x + 6}]$

단계 2

$f (x) = \cos (x^{4}) x$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [\cos (x^{4}) x] - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = \cos (x^{4})$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 4.2

$\cos (x^{4})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x \frac{d}{d x} [\cos (x^{4})]) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 5

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 5.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{4}])) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- \sin (x^{4}) (4 x^{3}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x (- 4 \sin (x^{4}) x^{3})) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3} x^{1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{3 + 1} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 9

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 10

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 12

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 13

식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 13.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) + x^{4} (- 4 \sin (x^{4}))) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 6) (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4}))$ 를 전개합니다.

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단계 14.1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 (\cos (x^{4}) - 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) + x (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x (x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 14.1.1.3.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3.2.2

$x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 14.1.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 (x^{4} x^{1}) \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{4 + 1} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3.2.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) + 6 (- 4 x^{4} \sin (x^{4})) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.1.3.3

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.2

$x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - \cos (x^{4}) x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 14.1.2.1

인수가 항 $x \cos (x^{4})$ 과(와) $- \cos (x^{4}) x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cos (x^{4}) - 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) - x \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.2.2

$x \cos (x^{4})$ 에서 $x \cos (x^{4})$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 0}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.1.2.3

$- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.3

$- 4 x^{5} \sin (x^{4}) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.3.1

$- 4 x^{5} \sin (x^{4})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) - 24 x^{4} \sin (x^{4}) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.3.2

$- 24 x^{4} \sin (x^{4})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 6 \cos (x^{4})}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.3.3

$6 \cos (x^{4})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.3.4

$2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4})) + 2 (- 12 x^{4} \sin (x^{4}))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.3.5

$2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 2 (3 \cos (x^{4}))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{5} \sin (x^{4}) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.4

$- 2 x^{5} \sin (x^{4})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - 12 x^{4} \sin (x^{4}) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.5

$- 12 x^{4} \sin (x^{4})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.6

$- (2 x^{5} \sin (x^{4})) - (12 x^{4} \sin (x^{4}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) + 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.7

$3 \cos (x^{4})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.8

$- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4})) - (- 3 \cos (x^{4}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.9

$- (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ 을 $- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4})))}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 14.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (2 x^{5} \sin (x^{4}) + 12 x^{4} \sin (x^{4}) - 3 \cos (x^{4}))}{{(x + 6)}^{2}}$