미적분 예제

$f (x) = \cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 3

$\log (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 입니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.4

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.8

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$n = \frac{3}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

단계 5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

단계 5.3

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

단계 5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

단계 5.5.2

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

단계 5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 6.3

항을 묶습니다.

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단계 6.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 6.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 6.3.3

$\frac{3}{4}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \sin (x)$