미적분 예제

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$5 x^{- 3}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$5 (x^{- 3})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

단계 1.2.2

${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

단계 1.2.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

단계 1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 로 바꿉니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

단계 2.3.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

단계 3.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

단계 4.2

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

단계 4.3

$5^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ 의 미분은 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$5^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

단계 4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

단계 4.5

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

단계 8.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

단계 10

$x^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

단계 11

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ 에 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 12

지수를 더하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 $x^{- \frac{5}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

$x^{- \frac{5}{2}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 12.4

$- 5$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 12.5

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 13

$x^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

단계 14

$\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

단계 15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

단계 16

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

단계 17.2

$5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

단계 17.3

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4

항을 묶습니다.

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단계 17.4.1

${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 17.4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 17.4.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4.2

지수값을 계산합니다.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

단계 17.4.4

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 17.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

단계 17.4.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

단계 17.4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

단계 17.4.5

$5$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

단계 17.5

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$