미적분 예제

$f (x) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

단계 2

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

단계 3

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

단계 4

$f (x) = e^{x} + 1$ , $g (x) = e^{x} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 5

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 7.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $e^{x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 8

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 9

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 9.2.2

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 에 $\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}$ 에서 $e^{x} - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.4.1

$e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 11.4.1.1

$e^{x} e^{x}$ 에서 $e^{x} e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4.1.2

$0$ 에서 $1 e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.4.2.1

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4.2.3

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.4.3

$- e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

단계 11.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$