미적분 예제

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 2

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ 에 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$x + 1 - x - - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.3.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.4.3

$\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 ${(x + 1)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

단계 4.4.4

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

단계 4.4.4.2

${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 4.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.5.4

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

단계 4.5.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 4.5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

단계 4.5.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

단계 4.5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 4.5.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 4.5.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 4.5.6.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 4.5.6.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

단계 4.5.6.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

단계 4.5.6.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

단계 4.5.7

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

단계 4.5.8

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

단계 4.5.9

$2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

단계 4.5.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

단계 4.5.11

$2 x^{2} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.5.11.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

단계 4.5.11.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

단계 4.5.11.3

$2 (x^{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 4.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 4.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$