미적분 예제

$f (x) = \sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin (x) - \tan (x) + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.4

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 5.8

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

단계 6

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 6.2

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 6.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.7

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.13

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 6.15.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.15.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.15.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.18

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 6.19

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

단계 6.20

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 x^{- 3} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) - \sec^{2} (x) + 2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$

단계 7.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 7.4.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 7.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 7.5.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 7.5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \cos (x) - \sec^{2} (x)$