미적분 예제

$f (x) = \tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.1.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 2.5

$\sec^{2} (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x \sec^{3} (3 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$ 입니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sec^{3} (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x)] + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sec (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sec (3 x)$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (3 x)$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$\sec (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 입니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$u_{3}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.9

$\sec (3 x) \tan (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x)))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.11

$\sec (3 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x)) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 {\sec (3 x)}^{1 + 2} \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.13

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

단계 3.14

$\sec^{3} (3 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x))) + 3 \sec^{3} (3 x)$

단계 4.2

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 \sec^{2} (3 x) + 27 x (\sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + 3 \sec^{3} (3 x)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$27 x \sec^{3} (3 x) \tan (3 x) + 3 \sec^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)$