미적분 예제

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

단계 1

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arccos (x))$ 는 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.2

$\cos (\frac{1}{x})$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$