미적분 예제

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

단계 1

$f (n) = n$ , $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 는 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 2

$f (n) = \ln (n)$ , $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ 일 때 $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ 는 $f' (g (n)) g' (n)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + \frac{x}{n}$ 로 바꿉니다.

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 + \frac{x}{n}$ 로 바꿉니다.

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{x}{n}$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ 가 됩니다.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.3

$1$ 이 $n$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $n$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ 에 더합니다.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.5

$x$ 은 $n$ 에 대해 일정하므로 $n$ 에 대한 $\frac{x}{n}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ 입니다.

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$x$ 와 $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.6.2

$\frac{1}{n}$ 을 $n^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 3.8

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ 와 $n^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 4

지수를 더하여 $n$ 에 $n^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$n^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 4.2

$n^{- 2}$ 에 $n$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$n$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 4.3

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $n^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

단계 6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

단계 7

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

단계 8

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (1 + \frac{x}{n})$ 을 표현하기 위해 $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

단계 9

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ 와 $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1.1.1

$n$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.3.1.1.2

$n$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.3.2

$- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.4

항을 묶습니다.

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단계 11.4.1

$n$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

단계 11.4.2

$\frac{x}{n}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

단계 11.4.3

$n$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

단계 11.4.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

단계 11.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.6.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

단계 11.6.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

단계 11.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

단계 11.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$