미적분 예제

$f (x) = \ln (x) \cos (\ln (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (\ln (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$\ln (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\ln (x) (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 와 $\sin (\ln (x))$ 을 묶습니다.

$\ln (x) (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 4.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

$\cos (\ln (x))$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x} + \frac{\cos (\ln (x))}{x}$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\ln (x) \sin (\ln (x))}{x}$