미적분 예제

$f (x) = \ln (x) \cdot \log_{5} (\sin (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \log_{5} (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\log_{5} (\sin (x))] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2

$f (x) = \log_{5} (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.2

$\log_{5} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (5)}$ 입니다.

$\ln (x) (\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (x) (\frac{1}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3

$\frac{1}{\sin (x) \ln (5)}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \cos (x) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 5

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{1}{x}$

단계 7

$\log_{5} (\sin (x))$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \frac{\log_{5} (\sin (x))}{x}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)}$

단계 8.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

분수를 나눕니다.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 8.2.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cot (x)$

단계 8.2.3

$\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ 와 $\cot (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cot (x)}{\ln (5)}$