미적분 예제

$f (x) = \log (- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}))$

단계 1

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 1.2

$\log (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\cos (3 x^{2})$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2.2

$\ln (10)$ 와 $\frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (\cos (3 x^{2}) \cdot 3)}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2.3

다시 정렬합니다.

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단계 2.3.1

$\cos (3 x^{2})$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{- \frac{\ln (10) (3 \cdot \cos (3 x^{2}))}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2.3.2

$\ln (10)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{- \frac{3 \cdot \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2.4

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 3

$\frac{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- (1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}) \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 4

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} \cdot \cos (3 x^{2})]$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

$\cos (3 x^{2})$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (3 x^{2}) \cdot 3}{2}]$

단계 4.2.2

$\cos (3 x^{2})$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [- \frac{3 \cdot \cos (3 x^{2})}{2}]$

단계 4.3

$- \frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3 \cos (3 x^{2})}{2}$ 의 미분은 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$ 입니다.

$- \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

단계 4.4.2

$\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})])$

단계 4.4.3

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{3 \ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

단계 4.4.4

곱합니다.

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단계 4.4.4.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{2 (3 \ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

단계 4.4.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{6 (\ln (10) \cos (3 x^{2}))} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

단계 4.4.5

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6}{6 \ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

단계 4.4.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (3 x^{2})]$

단계 5

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 5.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (- \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 와 $\sin (3 x^{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.3

분수를 통분합니다.

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단계 6.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6.3.2

$- 3$ 와 $\frac{\sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} (2 x)$

단계 6.5

분수를 통분합니다.

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단계 6.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

단계 6.5.2

$- 2$ 와 $\frac{3 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (3 \sin (3 x^{2}))}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

단계 6.5.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})} x$

단계 6.5.4

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

단계 6.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 \sin (3 x^{2}) x}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$6 \sin (3 x^{2}) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{6 x \sin (3 x^{2})}{\ln (10) \cos (3 x^{2})}$

단계 7.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \cdot \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})})$

단계 7.3

$\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x^{2})}$ 을 $\tan (3 x^{2})$ 로 변환합니다.

$- (\frac{6 x}{\ln (10)} \tan (3 x^{2}))$

단계 7.4

$\frac{6 x}{\ln (10)}$ 와 $\tan (3 x^{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{6 x \tan (3 x^{2})}{\ln (10)}$