미적분 예제

$f (x) = \log (x^{2} - \frac{1}{x})$

단계 1

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

단계 1.2

$\log (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 입니다.

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

단계 3

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3

곱합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + 0)$

단계 4.5.2

$2 x + x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{1}{x} \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.3

$\ln (10)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.4

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}}$

단계 5.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2} \ln (10)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x}{x} - \frac{\ln (10)}{x}}$

단계 5.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x - \ln (10)}{x}}$

단계 5.5.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x \cdot x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

단계 5.5.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.5.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1} x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

단계 5.5.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1 + 2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

단계 5.5.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

단계 5.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) (1 \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)})$

단계 5.7

$\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.8

$2 x + \frac{1}{x^{2}}$ 에 $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.9.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.9.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{2 (x^{2} x) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.9.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 x^{2 + 1} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.9.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.10

$\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.11

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 5.11.1

$(2 x^{3} + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.11.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.11.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.11.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.12

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

단계 5.13

$\frac{2 x^{3} + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 1}{x (x^{3} \ln (10) - \ln (10))}$