미적분 예제

$f (z) = z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $z^{2} (z + 4) - \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2

$\frac{d}{d z} [z^{2} (z + 4)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (z) = z^{2}$ , $g (z) = z + 4$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 는 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} \frac{d}{d z} [z + 4] + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $z + 4$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]$ 가 됩니다.

$z^{2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} (1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.4

$4$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} (1 + 0) + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$z^{2} \cdot 1 + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.7

$z^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$z^{2} + (z + 4) (2 z) + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 2.8

$z + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$

단계 3

$\frac{d}{d z} [- \frac{2 z}{z^{2} + 1}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 2$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $- \frac{2 z}{z^{2} + 1}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$ 입니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{d}{d z} [\frac{z}{z^{2} + 1}]$

단계 3.2

$f (z) = z$ , $g (z) = z^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 는 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z] - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $z^{2} + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + \frac{d}{d z} [1])}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{(z^{2} + 1) \cdot 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$z^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z + 0)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$2 z$ 를 $0$ 에 더합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - z (2 z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z \cdot z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.10

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.11

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 (z^{1} z^{1})}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{1 + 1}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{z^{2} + 1 - 2 z^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.14

$z^{2}$ 에서 $2 z^{2}$ 을 뺍니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - 2 \frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.15

$- 2$ 와 $\frac{- z^{2} + 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z + \frac{- 2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$z^{2} + 2 (z + 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$z^{2} + (2 z + 2 \cdot 4) z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2} + 1)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$z^{2} + 2 z \cdot z + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$z^{2} + 2 (z^{1} z) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$z^{2} + 2 (z^{1} z^{1}) + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$z^{2} + 2 z^{1 + 1} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$z^{2} + 2 z^{2} + 2 \cdot 4 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$z^{2} + 2 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.6

$z^{2}$ 를 $2 z^{2}$ 에 더합니다.

$3 z^{2} + 8 z - \frac{2 (- z^{2}) + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2 \cdot 1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 z^{2} + 8 z - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $3 z^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2}}{{(z^{2} + 1)}^{2}} - \frac{- 2 z^{2} + 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 z + \frac{3 z^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} - (- 2 z^{2} + 2)}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$