미적분 예제

$f (z) = {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = 1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 1.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$\frac{3}{2}$ 와 ${(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 6.2

합의 법칙에 의해 $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

단계 6.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

단계 6.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$

단계 7

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 7.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 7.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$3$ 와 $\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 8.2

분수를 통분합니다.

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단계 8.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 8.2.2

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 와 $\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 8.2.3

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{9 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 8.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

단계 8.6

항을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

단계 8.6.2

$2$ 와 $\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

단계 8.6.3

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

단계 8.6.4

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}) x}{2}$

단계 8.6.5

$18 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

단계 9

공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

단계 9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

단계 9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

단계 9.4

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$

단계 10

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$9 x {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}$