미적분 예제

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

단계 1

$f (y) = y$ , $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = 11 x + 5 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $11 x + 5 y$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $11 x + 5 y$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{11 x + 5 y}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $11 x + 5 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ 가 됩니다.

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.3

$11 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $11 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $11 x$ 입니다.

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [5 y]$ 에 더합니다.

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.5

$5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $5 y$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.6

$5$ 와 $\frac{y}{11 x + 5 y}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.8

$\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

단계 3.10

$\ln (11 x + 5 y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (11 x + 5 y)$ 을 표현하기 위해 $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

단계 6.1.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

단계 6.1.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

단계 6.1.1.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1.4.1

$11$ 를 로그 안으로 옮겨 $11 \ln (11 x + 5 y)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

단계 6.1.1.4.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (11 x + 5 y)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

단계 6.1.2

$5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$