미적분 예제

$f (y) = \sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ 을 $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{3 - 1}} {(8 x + 2)}^{3}]$

단계 2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2}} {(8 x + 2)}^{3}]$

단계 3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [2 x {(8 x + 2)}^{3}]$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x {(8 x + 2)}^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x {(8 x + 2)}^{3}]$

단계 5

$f (x) = x$ , $g (x) = {(8 x + 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [{(8 x + 2)}^{3}] + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 8 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $8 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 2]) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해 $8 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [2])) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} (8 + 0)) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.6

식을 간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x (3 {(8 x + 2)}^{2} \cdot 8) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.6.2

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3} \cdot 1)$

단계 7.8

${(8 x + 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2}) + {(8 x + 2)}^{3})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (24 {(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

단계 8.2

$24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$48 (x ({(8 x + 2)}^{2})) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

단계 8.3

$48 x {(8 x + 2)}^{2} + 2 {(8 x + 2)}^{3}$ 에서 $2 {(8 x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.3.1

$48 x {(8 x + 2)}^{2}$ 에서 $2 {(8 x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{3}$

단계 8.3.2

$2 {(8 x + 2)}^{3}$ 에서 $2 {(8 x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$

단계 8.3.3

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x) + 2 {(8 x + 2)}^{2} (8 x + 2)$ 에서 $2 {(8 x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(8 x + 2)}^{2} (24 x + 8 x + 2)$

단계 8.4

$24 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$2 {(8 x + 2)}^{2} (32 x + 2)$

단계 8.5

${(8 x + 2)}^{2}$ 을 $(8 x + 2) (8 x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 ((8 x + 2) (8 x + 2)) (32 x + 2)$

단계 8.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(8 x + 2) (8 x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 8.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 x (8 x + 2) + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

단계 8.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x + 2)) (32 x + 2)$

단계 8.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.7.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.7.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.3

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 2 + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (64 x^{2} + 16 x + 2 (8 x) + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.5

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 2 \cdot 2) (32 x + 2)$

단계 8.7.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (64 x^{2} + 16 x + 16 x + 4) (32 x + 2)$

단계 8.7.2

$16 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$2 (64 x^{2} + 32 x + 4) (32 x + 2)$

단계 8.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (64 x^{2}) + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

단계 8.9

간단히 합니다.

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단계 8.9.1

$64$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(128 x^{2} + 2 (32 x) + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

단계 8.9.2

$32$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(128 x^{2} + 64 x + 2 \cdot 4) (32 x + 2)$

단계 8.9.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$

단계 8.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(128 x^{2} + 64 x + 8) (32 x + 2)$ 를 전개합니다.

$128 x^{2} (32 x) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$128 \cdot 32 x^{2} x + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$128 \cdot 32 (x \cdot x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$128 \cdot 32 (x^{1} x^{2}) + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$128 \cdot 32 x^{1 + 2} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$128 \cdot 32 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.3

$128$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 128 x^{2} \cdot 2 + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.4

$2$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 x (32 x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x \cdot x + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 (x \cdot x) + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 64 \cdot 32 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.7

$64$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 64 x \cdot 2 + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.8

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 8 (32 x) + 8 \cdot 2$

단계 8.11.9

$32$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 8 \cdot 2$

단계 8.11.10

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4096 x^{3} + 256 x^{2} + 2048 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

단계 8.12

$256 x^{2}$ 를 $2048 x^{2}$ 에 더합니다.

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 128 x + 256 x + 16$

단계 8.13

$128 x$ 를 $256 x$ 에 더합니다.

$4096 x^{3} + 2304 x^{2} + 384 x + 16$