미적분 예제

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x {(x - 4)}^{3} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.9

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

이항정리 이용

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3.2.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3.2.3

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3.2.4

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

단계 4.3.3

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

단계 4.3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 4.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

단계 4.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

단계 4.3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

단계 4.3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

단계 4.3.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

단계 4.3.5.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

단계 4.3.5.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

단계 4.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7

간단히 합니다.

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단계 4.3.7.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.7.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.7.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

단계 4.3.7.3

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

단계 4.3.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.8.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.8.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

단계 4.3.8.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

단계 4.3.8.2

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

단계 4.4

$x^{3}$ 를 $3 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

단계 4.5

$- 12 x^{2}$ 에서 $24 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

단계 4.6

$48 x$ 를 $48 x$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$