미적분 예제

$f (x) = x \cdot | x - 1 | + x + 1$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x \cdot | x - 1 | + x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = | x - 1 |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [| x - 1 |] + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \cdot 1) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.8

$\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{x - 1}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.9

$x$ 와 $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.10

$| x - 1 |$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $| x - 1 |$ 을 표현하기 위해 $\frac{| x - 1 |}{| x - 1 |}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (x - 1) + | x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.13

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{x (x - 1) + | (x - 1) (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.14

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.15

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1 + 1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.6

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

단계 4.2.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

단계 4.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

단계 4.2.9

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$