미적분 예제

$f (x) = \arctan (x^{5})$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.2.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

단계 1.2.3

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.3.1

$5$ 와 $\frac{1}{1 + x^{10}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

단계 1.2.3.2

$\frac{5}{1 + x^{10}}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

단계 1.2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ 입니다.

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

단계 2.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{10} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.2

$x^{10} + 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{10} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.4

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$10 x^{9}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.3.6.2

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{9}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.4.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

단계 2.5

$5$ 와 $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.4.1.1

지수를 더하여 $x^{10}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.4.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.1.3

$3$ 를 $10$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.1.5

$- 10$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.4.2

$20 x^{13}$ 에서 $50 x^{13}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.5

$- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ 에서 $10 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.5.1

$- 30 x^{13}$ 에서 $10 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.5.2

$20 x^{3}$ 에서 $10 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.5.3

$10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ 에서 $10 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.6

$- 3 x^{10}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.7

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.8

$- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.9

$- (3 x^{10} - 2)$ 을 $- 1 (3 x^{10} - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.11

$- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

단계 4

분자가 0과 같게 만듭니다.

$5 x^{4} = 0$

단계 5

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$5 x^{4} = 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$5 x^{4} = 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

단계 5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

단계 5.1.2.1.2

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} = \frac{0}{5}$

단계 5.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.3.1

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$x^{4} = 0$

단계 5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

단계 5.3

$\pm \sqrt[4]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

단계 5.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7.1.3

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7.1.4

$- 2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 7.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

단계 7.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$- 20$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{0}{1}$

단계 7.3.2

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 0$

단계 7.3.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 8

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 8.2

1차 도함수 $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

단계 8.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

단계 8.2.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$- 2$ 를 $10$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

단계 8.2.2.2.2

$1024$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

단계 8.2.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.3.1

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

단계 8.2.2.3.2

$80$ 및 $1025$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.3.2.1

$80$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

단계 8.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.3.2.2.1

$1025$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

단계 8.2.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

단계 8.2.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

단계 8.2.2.4

최종 답은 $\frac{16}{205}$ 입니다.

$\frac{16}{205}$

단계 8.3

1차 도함수 $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

단계 8.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

단계 8.3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$2$ 를 $10$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

단계 8.3.2.2.2

$1024$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

단계 8.3.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.3.1

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

단계 8.3.2.3.2

$80$ 및 $1025$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.3.2.1

$80$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

단계 8.3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.3.2.2.1

$1025$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

단계 8.3.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

단계 8.3.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

단계 8.3.2.4

최종 답은 $\frac{16}{205}$ 입니다.

$\frac{16}{205}$

단계 8.4

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 8.5

$f (x) = \arctan (x^{5})$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 9