미적분 예제

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) + 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 2.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

단계 4

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 5

분수를 나눕니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 8

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

공약수로 약분합니다.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 8.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9

분수를 나눕니다.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 11

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

단계 12

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$- \tan (x) + 2 = 0$

단계 13

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- \tan (x) = - 2$

단계 14

$- \tan (x) = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$- \tan (x) = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 14.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 14.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

단계 14.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = 2$

단계 15

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (2)$

단계 16

우변을 간단히 합니다.

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단계 16.1

$\arctan (2)$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.10714871$

단계 17

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

단계 18

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 18.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

단계 18.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

단계 18.3

$3.14159265$ 를 $1.10714871$ 에 더합니다.

$x = 4.24874137$

단계 19

방정식 $x = 1.10714871$ 의 해.

$x = 1.10714871, 4.24874137$

단계 20

$x = 1.10714871$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

단계 21

이계도함수가 음수이므로 $x = 1.10714871$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1.10714871$ 은 극대값입니다

단계 22

$x = 1.10714871$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 22.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.10714871$ 을 대입합니다.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

단계 22.2

최종 답은 $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ 입니다.

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

단계 23

$x = 4.24874137$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

단계 24

이계도함수가 양수이므로 $x = 4.24874137$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4.24874137$ 은 극소값입니다.

단계 25

$x = 4.24874137$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 25.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4.24874137$ 을 대입합니다.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

단계 25.2

최종 답은 $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ 입니다.

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

단계 26

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ 은 극댓값임

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ 은 극솟값임

단계 27