미적분 예제

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $9 x + \sin (9 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

단계 1.2.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.3.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.3.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

단계 1.3.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

단계 1.3.5

$\cos (9 x)$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$9 + 9 \cos (9 x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $9 + 9 \cos (9 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

단계 2.1.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 \cos (9 x)$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

단계 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

단계 2.2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

단계 2.2.3

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

단계 2.2.5

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

단계 2.2.6

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

단계 2.2.7

$- 9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

단계 2.3

$0$ 에서 $81 \sin (9 x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$9 \cos (9 x) = - 9$

단계 5

$9 \cos (9 x) = - 9$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$9 \cos (9 x) = - 9$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

단계 5.2.1.2

$\cos (9 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 9$ 을 $9$ 로 나눕니다.

$\cos (9 x) = - 1$

단계 6

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$9 x = \arccos (- 1)$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\arccos (- 1)$ 의 정확한 값은 $π$ 입니다.

$9 x = π$

단계 8

$9 x = π$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$9 x = π$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

단계 8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{9}$

단계 9

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$9 x = 2 π - π$

단계 10

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$9 x = π$

단계 10.2

$9 x = π$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$9 x = π$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

단계 10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

단계 10.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{9}$

단계 11

방정식 $9 x = π$ 의 해.

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

단계 12

$x = \frac{π}{9}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

공약수로 약분합니다.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

단계 13.1.2

수식을 다시 씁니다.

$- 81 \sin (π)$

단계 13.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 81 \sin (0)$

단계 13.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 81 \cdot 0$

단계 13.4

$- 81$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 14

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

단계 14.2

1차 도함수 $9 + 9 \cos (9 x)$ 의 $(- \infty, \frac{π}{9})$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

단계 14.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1.1

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

단계 14.2.2.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

단계 14.2.2.1.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 9 + 9$

단계 14.2.2.2

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (0) = 18$

단계 14.2.2.3

최종 답은 $18$ 입니다.

$18$

단계 14.3

1차 도함수 $9 + 9 \cos (9 x)$ 의 $(\frac{π}{9}, \infty)$ 구간에서 $3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

단계 14.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

단계 14.3.2.1.2

$\cos (27)$ 의 값을 구합니다.

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

단계 14.3.2.1.3

$9$ 에 $- 0.2921388$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

단계 14.3.2.2

$9$ 에서 $2.62924927$ 을 뺍니다.

$f' (3) = 6.37075072$

단계 14.3.2.3

최종 답은 $6.37075072$ 입니다.

$6.37075072$

단계 14.4

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{π}{9}$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 14.5

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 15