미적분 예제

$f (x) = 8 \sec (x) + 4 \tan (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $8 \sec (x) + 4 \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \sec (x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

단계 1.2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \tan (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \sec (x) \tan (x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.4

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.5

지수를 더하여 $\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.5.1

$\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.5.1.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.6

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.7

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sec^{2} (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.3.3

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 2.3.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

단계 2.3.5

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

단계 2.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

단계 2.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 4 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

단계 2.3.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x)) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan (x) + 8 \sec^{3} (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$8 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) = 0$

단계 4

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 5

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$8 \tan^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \sec (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{2} (\frac{7 π}{6} + 2 π n) \tan (\frac{7 π}{6} + 2 π n) + 8 \sec^{3} (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

단계 6

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 7