미적분 예제

$F (x) = x + 4 \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + 4 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \cos (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$1 + 4 (- \sin (x))$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$1 - 4 \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - 4 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$F'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \sin (x)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$F'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$F'' (x) = 0 - 4 \cos (x)$

단계 2.3

$0$ 에서 $4 \cos (x)$ 을 뺍니다.

$F'' (x) = - 4 \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 - 4 \sin (x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 4 \sin (x) = - 1$

단계 5

$- 4 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 4 \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

단계 6

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\arcsin (\frac{1}{4})$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.25268025$

단계 8

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

단계 9.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

단계 9.3

$3.14159265$ 에서 $0.25268025$ 을 뺍니다.

$x = 2.88891239$

단계 10

방정식 $x = 0.25268025$ 의 해.

$x = 0.25268025, 2.88891239$

단계 11

$x = 0.25268025$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 \cos (0.25268025)$

단계 12

이계도함수가 음수이므로 $x = 0.25268025$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0.25268025$ 은 극대값입니다

단계 13

$x = 0.25268025$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.25268025$ 을 대입합니다.

$F (0.25268025) = (0.25268025) + 4 \cos (0.25268025)$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$0.25268025$ 를 $4 \cos (0.25268025)$ 에 더합니다.

$F (0.25268025) = 4.1256636$

단계 13.2.2

최종 답은 $4.1256636$ 입니다.

$y = 4.1256636$

단계 14

$x = 2.88891239$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 \cos (2.88891239)$

단계 15

이계도함수가 양수이므로 $x = 2.88891239$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2.88891239$ 은 극소값입니다.

단계 16

$x = 2.88891239$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.88891239$ 을 대입합니다.

$F (2.88891239) = (2.88891239) + 4 \cos (2.88891239)$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$2.88891239$ 를 $4 \cos (2.88891239)$ 에 더합니다.

$F (2.88891239) = - 0.98407094$

단계 16.2.2

최종 답은 $- 0.98407094$ 입니다.

$y = - 0.98407094$

단계 17

$F (x) = x + 4 \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(0.25268025, 4.1256636)$ 은 극댓값임

$(2.88891239, - 0.98407094)$ 은 극솟값임

단계 18