미적분 예제

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x \sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

단계 1.4

항을 묶습니다.

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단계 1.4.1

$\sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$x \cos (x) + 0$

단계 1.4.2

$x \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

단계 2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

단계 2.3.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x \cos (x) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

단계 5

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 6.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 6.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 6.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 6.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 6.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 6.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 6.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 6.2.5

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 7

$x \cos (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

단계 9.1.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \cos (0)$

단계 9.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 1$

단계 9.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

단계 11.2.1.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + \cos (0)$

단계 11.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 11.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 11.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 12

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

단계 13.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

단계 13.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{π}{2} + 0$

단계 13.2

$- \frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{π}{2}$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

단계 15.2.1.2

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

단계 15.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

단계 15.2.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

단계 15.2.3

최종 답은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$y = \frac{π}{2}$

단계 16

$x = \frac{3 π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

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단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17.1.4

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17.1.4.2

$\frac{3 π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 17.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

단계 17.1.6

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3 π}{2} + 0$

단계 17.2

$\frac{3 π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 π}{2}$

단계 18

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 19

$x = \frac{3 π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.4

$\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.4.1

$\frac{3 π}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.4.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 19.2.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

단계 19.2.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

단계 19.2.2

$- \frac{3 π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

단계 19.2.3

최종 답은 $- \frac{3 π}{2}$ 입니다.

$y = - \frac{3 π}{2}$

단계 20

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 1)$ 은 극솟값임

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 은 극댓값임

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ 은 극솟값임

단계 21