미적분 예제

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x - 2 \arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \arctan (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 입니다.

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 1.2.2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1.2.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

단계 1.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

단계 1.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

단계 1.3.1.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

단계 1.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.4.2

$x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ 에서 $2 x^{2} x$ 을 뺍니다.

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.5.1.2

$2 \cdot 1 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.5.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3.5.3

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

단계 4

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x^{2} - 1 = 0$

단계 5

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 5.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 5.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 5.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 5.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 6

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

단계 7.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{2^{2}}$

단계 7.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4}{4}$

단계 7.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$1$

단계 8

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 9

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

단계 9.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

단계 9.2.1.2.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

단계 9.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

단계 9.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

단계 9.2.1.3

$- 1 \frac{π}{2}$ 을 $- \frac{π}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

단계 9.2.2

최종 답은 $1 - \frac{π}{2}$ 입니다.

$y = 1 - \frac{π}{2}$

단계 10

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

단계 11.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 4}{2^{2}}$

단계 11.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 4}{4}$

단계 11.3

$- 4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 12

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 13

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$\arctan (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

단계 13.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.2.1

$- \frac{π}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

단계 13.2.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

단계 13.2.1.2.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

단계 13.2.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

단계 13.2.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

단계 13.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

단계 13.2.1.4

$- 1 (- \frac{π}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

단계 13.2.1.4.2

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

단계 13.2.2

최종 답은 $- 1 + \frac{π}{2}$ 입니다.

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

단계 14

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ 은 극솟값임

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ 은 극댓값임

단계 15