미적분 예제

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.2

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3 i$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 \sin (t) i$ 의 미분은 $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 입니다.

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.2.2

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\cos (t)$ 입니다.

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3

$\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 5 j$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 5 \cos (3 t) j$ 의 미분은 $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ 입니다.

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.2

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.3

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.3.7

$- 3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

단계 1.4

$\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $e^{- 7 t} k$ 의 미분은 $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ 입니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

단계 1.4.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - 7 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 7 t$ 로 바꿉니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

단계 1.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

단계 1.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 7 t$ 로 바꿉니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

단계 1.4.3

$- 7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 7 t$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

단계 1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

단계 1.4.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

단계 1.4.6

$e^{- 7 t}$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

단계 1.5.2

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ 가 됩니다.

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 i$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 i \cos (t)$ 의 미분은 $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 입니다.

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3

$\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$15 j$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $15 j \sin (3 t)$ 의 미분은 $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ 입니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.2

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 3 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 t$ 로 바꿉니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.3

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.6

$\cos (3 t)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.3.7

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

단계 2.4

$\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 7 k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 7 k e^{- 7 t}$ 의 미분은 $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ 입니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

단계 2.4.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - 7 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 7 t$ 로 바꿉니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

단계 2.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

단계 2.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 7 t$ 로 바꿉니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

단계 2.4.3

$- 7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 7 t$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

단계 2.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

단계 2.4.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

단계 2.4.6

$e^{- 7 t}$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

단계 2.4.7

$- 7$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

단계 4

$t = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.2

$0$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.3

$0$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.6

$45$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

단계 5.1.7

$- 7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

단계 5.1.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

단계 5.1.9

$49$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 45 j + 49 k$

단계 5.2

$0$ 를 $45 j$ 에 더합니다.

$45 j + 49 k$

단계 6

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 7