미적분 예제

$y = {(\frac{1}{x})}^{2}$

단계 1

$y = {(\frac{1}{x})}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(\frac{1}{x})}^{2}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{x} (- x^{- 2})$

단계 2.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.4.1

$\frac{2}{x}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 x^{- 2}}{x}$

단계 2.2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

단계 2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

단계 2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2}{x^{1 + 2}}$

단계 2.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{x^{3}}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{x^{3}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

단계 3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

단계 3.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

단계 3.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

단계 3.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

단계 3.4

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

단계 3.5.2

$6$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

단계 5

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 6

극값 없음

단계 7