미적분 예제

$y = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$

단계 1

$y = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = 250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [250 + 33 x + 0.1 x^{2}] - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.2

$250$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $250$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $250$ 입니다.

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [33 x]$ 에 더합니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.4

$33$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $33 x$ 의 미분은 $33 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.6

$33$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.7

$0.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.1 x^{2}$ 의 미분은 $0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x (33 + 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 + 0.1 (2 x)) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.9

$2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 2.2.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $33$ 이동하기

$\frac{33 \cdot x + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{33 x + 0.2 x \cdot x - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{33 x + 0.2 (x \cdot x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.4

$- 1$ 에 $250$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.5

$33$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.3.1.6

$0.1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 2.3.3.2

$33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$33 x$ 에서 $33 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0.2 x^{2} - 250 + 0 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 2.3.3.2.2

$0.2 x^{2} - 250$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0.2 x^{2} - 250 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 2.3.3.3

$0.2 x^{2}$ 에서 $0.1 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0.1 x^{2} - 250}{x^{2}}$

단계 2.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$0.1 x^{2} - 250$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

$0.1 x^{2}$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 (x^{2}) - 250}{x^{2}}$

단계 2.3.4.1.2

$- 250$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500}{x^{2}}$

단계 2.3.4.1.3

$0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 (x^{2} - 2500)}{x^{2}}$

단계 2.3.4.2

$2500$ 을 $50^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0.1 (x^{2} - 50^{2})}{x^{2}}$

단계 2.3.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 50$ 입니다.

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ 의 미분은 $0.1 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 50) (x - 50)}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0.1 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 50) (x - 50)}{x^{2}})$

단계 3.2

$f (x) = (x + 50) (x - 50)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

단계 3.3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

단계 3.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.4

$f (x) = x + 50$ , $g (x) = x - 50$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) \frac{d}{d x} (x - 50) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

합의 법칙에 의해 $x - 50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 50]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 50)) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (1 + \frac{d}{d x} (- 50)) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.3

$- 50$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 50$ 입니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (1 + 0) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) \cdot 1 + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.4.2

$x + 50$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.5

합의 법칙에 의해 $x + 50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [50]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (50))) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (1 + \frac{d}{d x} (50))) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.7

$50$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $50$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $50$ 입니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (1 + 0)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) \cdot 1) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.8.2

$x - 50$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + x - 50) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x + 50 - 50) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.8.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.4.1

$50$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.5.8.4.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.7

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 x^{3} - (x + 50) (x - 50) (2 x)}{x^{4}})$

단계 3.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x}{x^{4}})$

단계 3.9.2

$0.1$ 와 $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3}) + 0.1 ((- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.1

$2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.2

$- 2$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x - 100) (x - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 x - 100) (x - 50)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x (x - 50) - 100 (x - 50)) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 50 - 100 (x - 50)) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4.1.2

$- 50$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 100 x - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4.1.3

$- 100$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 100 x - 100 x + 5000) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4.2

$100 x$ 에서 $100 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 0 + 5000) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.4.3

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 5000) x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{2} x + 5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 (x \cdot x^{2}) + 5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 (x \cdot x^{2}) + 5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{1 + 2} + 5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{3} + 5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{3}) + 0.1 (5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.8

$- 2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} - 0.2 x^{3} + 0.1 (5000 x)}{x^{4}}$

단계 3.10.3.1.9

$5000$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} - 0.2 x^{3} + 500 x}{x^{4}}$

단계 3.10.3.2

$0.2 x^{3}$ 에서 $0.2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{0 x^{3} + 500 x}{x^{4}}$

단계 3.10.3.3

$0$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 500 x}{x^{4}}$

단계 3.10.3.4

$0$ 를 $500 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{500 x}{x^{4}}$

단계 3.10.4

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.4.1

$500 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x^{4}}$

단계 3.10.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.4.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.10.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.10.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{500}{x^{3}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [250 + 33 x + 0.1 x^{2}] - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.2

$250$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $250$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $250$ 입니다.

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [33 x]$ 에 더합니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.4

$33$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $33 x$ 의 미분은 $33 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.6

$33$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.7

$0.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.1 x^{2}$ 의 미분은 $0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x (33 + 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 + 0.1 (2 x)) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.9

$2$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.1.2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 5.1.2.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $33$ 이동하기

$\frac{33 \cdot x + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{33 x + 0.2 x \cdot x - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{33 x + 0.2 (x \cdot x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.4

$- 1$ 에 $250$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.5

$33$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.1.6

$0.1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.2

$33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.2.1

$33 x$ 에서 $33 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0.2 x^{2} - 250 + 0 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.2.2

$0.2 x^{2} - 250$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0.2 x^{2} - 250 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

단계 5.1.3.3.3

$0.2 x^{2}$ 에서 $0.1 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0.1 x^{2} - 250}{x^{2}}$

단계 5.1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.4.1

$0.1 x^{2} - 250$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.4.1.1

$0.1 x^{2}$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 (x^{2}) - 250}{x^{2}}$

단계 5.1.3.4.1.2

$- 250$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500}{x^{2}}$

단계 5.1.3.4.1.3

$0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.1 (x^{2} - 2500)}{x^{2}}$

단계 5.1.3.4.2

$2500$ 을 $50^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0.1 (x^{2} - 50^{2})}{x^{2}}$

단계 5.1.3.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 50$ 입니다.

$f' (x) = \frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$

단계 6.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$0.1 (x + 50) (x - 50) = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 50 = 0$

$x - 50 = 0$

단계 6.3.2

$x + 50$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$x + 50$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 50 = 0$

단계 6.3.2.2

방정식의 양변에서 $50$ 를 뺍니다.

$x = - 50$

단계 6.3.3

$x - 50$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$x - 50$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 50 = 0$

단계 6.3.3.2

방정식의 양변에 $50$ 를 더합니다.

$x = 50$

단계 6.3.4

$0.1 (x + 50) (x - 50) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 50, 50$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 7.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 7.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 7.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 7.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 8

계산할 임계점.

$x = - 50, 50$

단계 9

$x = - 50$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{500}{{(- 50)}^{3}}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 50$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{500}{- 125000}$

단계 10.2

$500$ 및 $- 125000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$500$ 에서 $500$ 를 인수분해합니다.

$\frac{500 (1)}{- 125000}$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$- 125000$ 에서 $500$ 를 인수분해합니다.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot - 250}$

단계 10.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot - 250}$

단계 10.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 250}$

단계 10.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{250}$

단계 11

이계도함수가 음수이므로 $x = - 50$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 50$ 은 극대값입니다

단계 12

$x = - 50$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 50$ 을 대입합니다.

$f (- 50) = \frac{250 + 33 (- 50) + 0.1 {(- 50)}^{2}}{- 50}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$33$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 0.1 {(- 50)}^{2}}{- 50}$

단계 12.2.1.2

$- 50$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 0.1 \cdot 2500}{- 50}$

단계 12.2.1.3

$0.1$ 에 $2500$ 을 곱합니다.

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 250}{- 50}$

단계 12.2.1.4

$250$ 에서 $1650$ 을 뺍니다.

$f (- 50) = \frac{- 1400 + 250}{- 50}$

단계 12.2.1.5

$- 1400$ 를 $250$ 에 더합니다.

$f (- 50) = \frac{- 1150}{- 50}$

단계 12.2.2

$- 1150$ 을 $- 50$ 로 나눕니다.

$f (- 50) = 23$

단계 12.2.3

최종 답은 $23$ 입니다.

$y = 23$

단계 13

$x = 50$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{500}{{(50)}^{3}}$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$50$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{500}{125000}$

단계 14.2

$500$ 및 $125000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$500$ 에서 $500$ 를 인수분해합니다.

$\frac{500 (1)}{125000}$

단계 14.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$125000$ 에서 $500$ 를 인수분해합니다.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

단계 14.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

단계 14.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{250}$

단계 15

이계도함수가 양수이므로 $x = 50$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 50$ 은 극소값입니다.

단계 16

$x = 50$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $50$ 을 대입합니다.

$f (50) = \frac{250 + 33 (50) + 0.1 {(50)}^{2}}{50}$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$250 + 33 (50) + 0.1 {(50)}^{2}$ 및 $50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (50) = \frac{0.1 {(50)}^{2} + 33 \cdot 50 + 250}{50}$

단계 16.2.1.2

$0.1 {(50)}^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2}) + 33 \cdot 50 + 250}{50}$

단계 16.2.1.3

$33 \cdot 50$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2}) + 5 (33 \cdot 10) + 250}{50}$

단계 16.2.1.4

$5 (0.02 {(50)}^{2}) + 5 (33 \cdot 10)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 250}{50}$

단계 16.2.1.5

$250$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 5 (50)}{50}$

단계 16.2.1.6

$5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 5 (50)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{50}$

단계 16.2.1.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.7.1

$50$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{5 (10)}$

단계 16.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{5 \cdot 10}$

단계 16.2.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (50) = \frac{0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

단계 16.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.2.1

$50$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (50) = \frac{0.02 \cdot 2500 + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

단계 16.2.2.2

$0.02$ 에 $2500$ 을 곱합니다.

$f (50) = \frac{50 + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

단계 16.2.2.3

$33$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f (50) = \frac{50 + 330 + 50}{10}$

단계 16.2.2.4

$50$ 를 $330$ 에 더합니다.

$f (50) = \frac{380 + 50}{10}$

단계 16.2.2.5

$380$ 를 $50$ 에 더합니다.

$f (50) = \frac{430}{10}$

단계 16.2.3

$430$ 을 $10$ 로 나눕니다.

$f (50) = 43$

단계 16.2.4

최종 답은 $43$ 입니다.

$y = 43$

단계 17

$f (x) = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(- 50, 23)$ 은 극댓값임

$(50, 43)$ 은 극솟값임

단계 18