미적분 예제

$y = - \cos (4 x - π)$

단계 1

$y = - \cos (4 x - π)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (4 x - π)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

단계 2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 4 x - π$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - π$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

단계 2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - π$ 로 바꿉니다.

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

단계 2.3.2

$\sin (4 x - π)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $4 x - π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 가 됩니다.

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

단계 2.3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

단계 2.3.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

단계 2.3.7

$- π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- π$ 입니다.

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

단계 2.3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

단계 2.3.8.2

$\sin (4 x - π)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \sin (4 x - π)$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (4 x - π)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x - π$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - π$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - π$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $4 x - π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

단계 3.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

단계 3.3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

단계 3.3.5

$- π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- π$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

단계 3.3.6.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

단계 5

$4 \sin (4 x - π) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4 \sin (4 x - π) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.2.1.2

$\sin (4 x - π)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\sin (4 x - π) = 0$

단계 6

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$4 x - π = \arcsin (0)$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 x - π = 0$

단계 8

방정식의 양변에 $π$ 를 더합니다.

$4 x = π$

단계 9

$4 x = π$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$4 x = π$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

단계 9.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 10

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$4 x - π = π - 0$

단계 11

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$4 x - π = π$

단계 11.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $π$ 를 더합니다.

$4 x = π + π$

단계 11.2.2

$π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$4 x = 2 π$

단계 11.3

$4 x = 2 π$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$4 x = 2 π$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

단계 11.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

단계 11.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2 π}{4}$

단계 11.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.3.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.3.1.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (π)}{4}$

단계 11.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.3.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 11.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 11.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 12

방정식 $4 x - π = 0$ 의 해.

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

단계 13

$x = \frac{π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

공약수로 약분합니다.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

단계 14.1.2

수식을 다시 씁니다.

$16 \cos (π - π)$

단계 14.2

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$16 \cos (0)$

단계 14.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$16 \cdot 1$

단계 14.4

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16$

단계 15

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{π}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 16

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

단계 16.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

단계 16.2.2

$π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

단계 16.2.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

단계 16.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

단계 16.2.5

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 17

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

단계 18

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

단계 18.1.2

공약수로 약분합니다.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

단계 18.1.3

수식을 다시 씁니다.

$16 \cos (2 π - π)$

단계 18.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$16 \cos (π)$

단계 18.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$16 (- \cos (0))$

단계 18.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$16 (- 1 \cdot 1)$

단계 18.5

$16 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 \cdot - 1$

단계 18.5.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 16$

단계 19

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 20

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

단계 20.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

단계 20.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

단계 20.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

단계 20.2.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

단계 20.2.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

단계 20.2.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

단계 20.2.5

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

단계 20.2.5.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

단계 20.2.6

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 21

$f (x) = - \cos (4 x - π)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{4}, - 1)$ 은 극솟값임

$(\frac{π}{2}, 1)$ 은 극댓값임

단계 22