미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[- 1, 1]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 1.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

단계 1.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\sqrt[3]{x}$

단계 1.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 1, 1]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.2

$\frac{3}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.3

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

단계 6.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

단계 6.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

단계 6.2.6

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

단계 6.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

단계 6.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

단계 6.2.9

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

단계 6.2.10

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.10.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

단계 6.2.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.10.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 6.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

단계 6.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

단계 6.2.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = 0$

단계 9