미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[1, 2]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[1, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

단계 5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

단계 7.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

단계 7.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

단계 7.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

단계 7.2.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

단계 8

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

단계 9

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

단계 9.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2}$

단계 11