미적분 예제

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.4

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.2.6.2.4

$- x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- \frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{3} x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.4

$- 2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.6

$\frac{- 4}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 x$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.4.3

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

단계 1.5.2

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 가 됩니다.

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4 x}{3}$ 의 미분은 $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

단계 2.4.2

$- 2 x - \frac{4}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6