미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에서 $64$ 를 뺍니다.

$x^{3} = - 64$

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$x^{3} + 64 = 0$

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$64$ 을 $4^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} + 4^{3} = 0$

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 16$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} - 4 x + 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 16$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ 을 $- 1 (48)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ 을 $4^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$48$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ 을 $- 1 (48)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ 을 $4^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$48$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ 을 $- 1 (48)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ 을 $4^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$48$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6