미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 1.3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

단계 1.3.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 2.1.2

$\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 에 $\frac{1}{h}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{x (x + h) h}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{(x + h) h}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x - (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

단계 3.1.2

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.2.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $x - (x + h)$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

단계 3.1.2.2

$x - (x + 0)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.1.2.2.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

단계 3.1.2.2.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

단계 3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.3.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

단계 3.1.3.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

단계 3.1.3.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

단계 3.1.3.4

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.3.4.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

단계 3.1.3.4.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

단계 3.1.3.5

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1.3.5.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

단계 3.1.3.5.2

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.3.5.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.3.6

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x - (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x - (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x - (x + h)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.3

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4

$\frac{d}{d h} [- (x + h)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.4.1

$- 1$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $- (x + h)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d h} [x + h]$ 입니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4.2

합의 법칙에 의해 $x + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4.3

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.5

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

단계 3.3.6

$f (h) = x + h$ , $g (h) = h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 는 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

단계 3.3.8

$x + h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

단계 3.3.9

합의 법칙에 의해 $x + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

단계 3.3.10

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

단계 3.3.11

$0$ 를 $\frac{d}{d h} [h]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

단계 3.3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h \cdot 1}$

단계 3.3.13

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + h + h}$

단계 3.3.14

$h$ 를 $h$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x + 2 h}$

단계 3.3.15

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{2 h + x}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

단계 4.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $- 1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

단계 4.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

단계 4.4

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

단계 4.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

단계 5

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + x}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{0 + x}$

단계 6.1.2

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

단계 6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

단계 6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x \cdot x}$

단계 6.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{x^{1} x}$

단계 6.4.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

단계 6.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

단계 6.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$