미적분 예제

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $p (x)$ 이 $[0, 10]$ 에서 연속인지 판단하려면 $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

단계 1.2.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

단계 1.2.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.2.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 72$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

$72$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.2.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.3

$5184$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.4

$5176$ 을 $2^{2} \cdot 1294$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.4.1

$5176$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

단계 1.2.5.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.1

$72$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.2.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.3

$5184$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.4

$5176$ 을 $2^{2} \cdot 1294$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.4.1

$5176$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

단계 1.2.6.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.6.5

$- 36$ 을 $- 1 (36)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.6.6

$\sqrt{1294}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

단계 1.2.6.7

$- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

단계 1.2.6.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.1

$72$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.2.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.3

$5184$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.4

$5176$ 을 $2^{2} \cdot 1294$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1.4.1

$5176$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

단계 1.2.7.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.7.5

$- 36$ 을 $- 1 (36)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.7.6

$- \sqrt{1294}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

단계 1.2.7.7

$- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

단계 1.2.7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.8

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.2.10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1.1

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 38$

단계 1.2.10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 38$ 로 치환합니다.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

단계 1.2.10.1.3

좌변 $153$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.10.2

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.2.10.2.1

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 1.2.10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

단계 1.2.10.2.3

좌변 $- 197$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.10.3

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.3.1

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 1.2.10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

단계 1.2.10.3.3

좌변 $1$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 참

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 참

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 참

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 거짓

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 참

단계 1.2.11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 또는 $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

단계 2

$p (x)$ 는 $[0, 10]$ 에서 연속입니다.

$p (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $p$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

단계 5.2

$10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

단계 6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

단계 6.2

$\frac{1}{10}$ 와 $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

단계 7