미적분 예제

$g (x) = {(x - 6)}^{2}$ , $[5, 8]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$g (x)$ 는 $[5, 8]$ 에서 연속입니다.

$g (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $g$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} {(x - 6)}^{2} d x)$

단계 5

먼저 $u = x - 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = x - 6$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x - 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.4

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u = x - 6$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 - 6$

단계 5.3

$5$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 5.4

$u = x - 6$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 - 6$

단계 5.5

$8$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 2$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

단계 7.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

단계 7.2.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

단계 7.2.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

단계 7.2.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

단계 7.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8 + 1}{3})$

단계 7.2.7

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{9}{3})$

단계 7.2.8

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.8.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

단계 7.2.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

단계 7.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

단계 7.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3}{1})$

단계 7.2.8.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (3)$

단계 8

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

단계 9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

단계 9.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 1$

단계 10