미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 1, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 9

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

단계 13.2

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

단계 13.3

$2$ , $- 1$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.7

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.8

$9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.8.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.8.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.11

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.11.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.11.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.12

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.13

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.14

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.16

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.16.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.16.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.17

$5$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.18

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.20

$6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.22.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.22.2

$12$ 를 $15$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.23

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

단계 13.4.24

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

단계 13.4.25

$6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

단계 13.4.26

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

단계 13.4.27

$9$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

단계 13.4.28

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

단계 13.4.29

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.29.1

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

단계 13.4.29.2

$27$ 를 $18$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

단계 14

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

단계 15

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.1

$45$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

단계 15.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

단계 15.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{15}{2}$

단계 16