미적분 예제

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[- 4, - 3]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $x^{- 1}$ 의 밑수를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 4, - 3]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

단계 7

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

단계 8

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$- 3$ , $- 4$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

단계 9.1.2

$- 3$ , $- 4$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3

간단히 합니다.

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단계 9.1.3.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.4

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.5

$- 16$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.6

$- 16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.3.6.1

$- 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.3.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.6.2.4

$- 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.8

$- 8$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.3.10.1

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.10.2

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

단계 9.1.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

단계 9.1.3.13

$12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

단계 9.1.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

단계 9.1.3.15

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

단계 9.2.2

$- 7$ 을 $- 1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

단계 9.2.3

$24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

단계 9.2.4

$- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

단계 9.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 3$ 과 $0$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

단계 9.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 4$ 과 $0$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

단계 10

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 10.1

$- 3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

단계 10.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

단계 10.2.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

단계 10.3

$- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

단계 11

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1

$24$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

단계 11.2

$\frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

단계 11.3

$3$ 를 $24$ 승 합니다.

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

단계 11.4

$4$ 를 $24$ 승 합니다.

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

단계 12