미적분 예제

$f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ , $[- 1, 2]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 1, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} - 3 x + 5 d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

단계 7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 5 x]_{- 1}^{2})$

단계 11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ 와 $5 x]_{- 1}^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

단계 11.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

단계 11.2.2

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $10$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.5

$10$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.7.1

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 30}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.7.2

$8$ 를 $30$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.9

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{- 1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.11

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.13

$- 5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 5 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.15

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.3.15.1

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 15}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.15.2

$- 1$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + 1 (\frac{16}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.18

$\frac{16}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38 + 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.20

$38$ 를 $16$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{54}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.21

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.3.21.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.21.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.3.21.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.21.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.22

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.23

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.3.23.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.23.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.3.23.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.23.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.23.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.23.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.24

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{1}{2}))$

단계 11.2.3.25

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

단계 11.2.3.26

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

단계 11.2.3.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2})$

단계 11.2.3.28

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.3.28.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{4 - 1}{2})$

단계 11.2.3.28.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{3}{2}))$

단계 11.2.3.29

$- 3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 3 \cdot 3}{2})$

단계 11.2.3.30

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 9}{2})$

단계 11.2.3.31

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - \frac{9}{2})$

단계 11.2.3.32

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

단계 11.2.3.33

$18$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

단계 11.2.3.34

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2 - 9}{2})$

단계 11.2.3.35

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.35.1

$18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{36 - 9}{2})$

단계 11.2.3.35.2

$36$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2})$

단계 12

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}$

단계 13

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (9)}{2}$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2}$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{9}{2}$

단계 14