미적분 예제

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[4, 9]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = 6 \sqrt{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[4, 9]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

단계 5

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

단계 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$9$ , $4$ 일 때, $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.5

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.6

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.6.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.6.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

단계 8.2.2.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

단계 8.2.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

단계 8.2.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

단계 8.2.2.11

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

단계 8.2.2.12

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

단계 8.2.2.13

$18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

단계 8.2.2.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

단계 8.2.2.15

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.2.15.1

$18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

단계 8.2.2.15.2

$54$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

단계 8.2.2.16

$6$ 와 $\frac{38}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

단계 8.2.2.17

$6$ 에 $38$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

단계 8.2.2.18

$228$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.18.1

$228$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

단계 8.2.2.18.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.18.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

단계 8.2.2.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

단계 8.2.2.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

단계 8.2.2.18.2.4

$76$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

단계 9

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

단계 10

$\frac{1}{5}$ 와 $76$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{76}{5}$

단계 11