미적분 예제

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[0, 2 π]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = 5 \csc (x)$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\csc (x)$ 의 진수를 $π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

조건제시법:

임의의 정수 $n$ 에 대해 ${x | x \neq π n}$

조건제시법:

임의의 정수 $n$ 에 대해 ${x | x \neq π n}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 2 π]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

단계 5

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

단계 6

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2 π$ , $0$ 일 때, $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

단계 7.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.2.1

$\csc (2 π)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3.2.2

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3.2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3.2.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

단계 7.3.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.3.3.1

$\csc (0)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

단계 7.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

단계 7.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

단계 7.3.4

$| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

단계 7.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

단계 7.3.5

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

단계 7.3.6

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

단계 8

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

단계 8.2

$2 π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

단계 9

$\frac{1}{2 π}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = 0$

단계 10