미적분 예제

$f (x) = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 2, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}))$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

단계 9.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $4 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

단계 9.2.2

$2$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 9.2.3

간단히 합니다.

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단계 9.2.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.2

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.3

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.5

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

단계 9.2.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

단계 9.2.3.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

단계 9.2.3.8

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

단계 9.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - \frac{8 + 8}{3})$

단계 9.2.3.10

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - \frac{16}{3})$

단계 9.2.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

단계 9.2.3.12

$16$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

단계 9.2.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{16 \cdot 3 - 16}{3})$

단계 9.2.3.14

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.3.14.1

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{48 - 16}{3})$

단계 9.2.3.14.2

$48$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{32}{3})$

단계 10

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{3}$

단계 11

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

$32$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (8)}{3}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 8}{3}$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{8}{3}$

단계 12